259

FIGURE 17.1  (a) In the absence of an external magnetic field, nuclear spins are randomized. (b) When an external magnetic field is applied to a material possessingnuclear magnetic moments, the tiny nuclear magnets line up either parallel or antiparallelwith the magnetic field. The parallel configuration is at a lower energy.

2 tesla (T). (By comparison, the strength of the magnetic field of the Earth ison the order of 10−4 T.)

The discrete energy spacing Em, between the two states shown in Fig. 17.1b, makes this a resonant system. The frequency corresponding tothe energy difference between the two states is called the and in accord with Eq. 16.1 is given by fL  Em  γB

(17.2)

h

2π

The gyromagnetic ratio γ for a proton is 2.68 × 108 T−1 sec−1. Mag netic fields used in MRI are typically in the range 1 to 4 T. The correspondingLarmor frequencies are about 43 to 170 MHz. These frequencies are in the



260

Chapter 17 Nuclear Physics

If by some means the magnetic moment is displaced from the field, as shown in the Fig. 17.2, it will precess (rotate) around the field as a spinningtop precesses in the gravitational field of the Earth. The frequency of precession is the Larmor frequency given by Eq. 17.2. The displacement of themagnetic moment is due to a reversal of alignment for some of the individualnuclear magnetic moments from parallel to antiparallel alignment as shownin Fig. 17.2. A displacement of 90◦ corresponds to equalizing the populationof the spin up and spin down states. To reverse the alignment of antiparallelspins requires energy which must be supplied by an external source.

The energy required to displace the magnetic moment from the direction of the external field is supplied by a short radio frequency driving pulse atthe Larmor frequency which is the natural (resonant) frequency of precession.

(This is analogous to setting a pendulum swinging by applying to it a force

FIGURE 17.2  A short radio frequency driving pulse at the Larmor frequency displaces the magnetic moment from the external magnetic field by an angle determinedby the strength and duration of the driving pulse.

at the frequency of the pendulum resonance.) The driving pulse is applied bya coil surrounding the sample as shown in Fig. 17.2. At the end of the spinflipping driving pulse, the magnetic moment is displaced from the externalmagnetic field by an angle determined by the strength and duration of thedriving pulse.

The displaced magnetic moment produced by the radio frequency driving pulse, precesses around the external magnetic field and itself generates a radiofrequency signal at the Larmor frequency of rotation. This emitted NMR signal can be detected by a separate coil or by the driving coil itself. The detectedNMR signal decreases exponentially with time due to two distinct processes,(1) the return of the nuclear spin orientations to the equilibrium distributionand (2) variations in the local magnetic field.

Process 1: As was stated earlier, in the presence of an external field more of the nuclei are lined up parallel to the field than antiparallel. The radiofrequency pulse flips some of the parallel spins into the antiparallel configuration. As soon as the driving pulse is over, the nuclear spins and theassociated magnetic moment begin to return back to the original equilibrium alignment. The equilibration is brought about by the exchange ofenergy between the nuclear spins and the surrounding molecules. Withthe return of the magnetic moment to the original alignment with theexternal magnetic field, the precession angle decreases, as does the associated NMR signal. The decay of the NMR signal is exponential withtime constant T1, called the spin lattice relaxation time.

Process 2: The local magnetic field throughout the object under examination is not perfectly uniform. Variations in the magnetic field are producedby the magnetic properties of molecules adjacent to the nuclear spins.

Such variations in the local magnetic field cause the Larmor frequencyof the individual nuclear magnetic moments to differ slightly from eachother. As a result, the precessions of the nuclei get out of phase witheach other, and the total NMR signal decreases. This dephasing islikewise exponential, with a time constant T2, called the spin-spin relaxation time.

The driving pulse and the emitted NMR signal are shown schematically in Fig. 17.3. The NMR signal detected after the driving pulse contains information about the material being studied. For a given initial driving pulse, themagnitude of the emitted NMR signal is a function of the number of hydrogennuclei in the material. Bone, for example, which contains relatively few wateror other hydrogen-containing molecules, produces a relatively low NMR signal. The post-pulse radiation emitted by fatty tissue is much higher.





262

Chapter 17 Nuclear Physics

FIGURE 17.3  The driving pulse and the emitted NMR signal.

The time constants T1 and T2 characterizing the rate of decay of the emitted NMR signal provide information about the nature of the material within whichthe precessing nuclei are located. The spinning top provides a useful analogy.

A well-designed top in vacuum will spin for a long time. In air, the durationof the spin will be somewhat shorter because collisions with air moleculeswill dissipate its rotational energy. In water, where the frictional losses areyet greater, the top will spin hardly at all. The decay rate of the spinningtop provides information about the nature of the medium surrounding the top.

Similarly, the characteristic time constants T1 and T2 provide information aboutthe matter surrounding the precessing nuclei (see [16-4]). For example, withan external magnetic field of 1 T, for fat T1  240 msec and T2  80 msec; forheart tissue T1  570 msec and T2  57 msec (see [16-4]). Malignant tissueis often characterized by higher values of T1.

The NMR principles described have been used since the 1940s to iden tify molecules in various physics, chemistry, and biological applications. Inthis application the detected NMR signal is derived from the entire volumeexposed to the magnetic field. The technique as discussed so far cannot provideinformation about the location of the signal within the volume studied.

17.2.2 Imaging with NMR



Section 17.2 Magnetic Resonance Imaging 263

In the 1970s, several new techniques were developed to utilize NMR signals for the construction of two-dimensional tomographic images similarto those provided by CT scans. One of the first of these was described byP. C. Lauterbur in 1973. He demonstrated the principle using two tubes ofwater, A and B as shown in Fig. 17.4. In a uniform magnetic field (B0) theLarmor frequency of the two tubes is the same. Therefore, the post-pulseNMR signals from tubes A and B cannot be distinguished. The NMR signalsfrom the two tubes can be made distinguishable by superimposing on the uniform field B0 a magnetic field gradient B(x) as shown in Fig. 17.4b. The totalmagnetic field now changes with position along the x-axis, and the associatedLarmor frequencies at the location of tubes A and B are now different.

As is evident, each point (actually small region x) on the x-axis is now characterized by its unique Larmor frequency. Therefore, the NMR signal FIGURE 17.4  (a) In a uniform magnetic field (B0) the Larmor frequency of two locations in space A and B is the same. (b) When a magnetic field gradient issuperimposed on the uniform field, the Larmor frequencies at the locations A and are different.





264

Chapter 17 Nuclear Physics x-space. A field gradient in one direction yields projection of the object onto that axis. To obtain a tomographicimage in the x-y plane, a field gradient in both the x- and y-directions mustbe introduced (see Fig. 17.5). A magnetic field gradient is also applied in thez-direction to select within the body the slice to be examined. A very largenumber of NMR signals have to be collected and synthesized to construct anMRI image. For this purpose, the intensity as well as the time constants T1and T2 of the NMR signal are needed. The process is more complex than fora CT scan and requires highly sophisticated computer programs.

A sketch of a whole-body MRI apparatus is shown in Fig. 17.5. Most such devices use liquid helium cooled superconducting magnets to produce the high FIGURE 17.5  Sketch of a whole body MRI imaging system.



Section 17.2 Magnetic Resonance Imaging 265 FIGURE 17.6  MRI image of brain. From V. Kuperman, “Magnetic Resonance Imaging,” 2000, Academic Press.

magnetic fields required for the production of high resolution images. An MRIimage of the brain is shown in Fig. 17.6.

The MRI technique yields detailed visualization of soft tissue structures with a resolution of about 0.5 mm. Such visualizations have been particularlyuseful in neurology. All parts of the brain structure including arteries as thin asa hair can be clearly seen deep inside the brain. However, conventional MRIdoes not provide information about the functions performed by the brain. Sucha display in vivo of neural activity in the brain as it performs various tasks andfunctions can be obtained with a modified MRI technique called functionalmagnetic resonance imaging fMRI.

17.2.3 Functional Magnetic Resonance Imaging (fMRI)

When a specific region of the brain is activated, the energy requirement of that region rises. Oxygenated blood flow to that part of the brain increases toensure an adequate supply of oxygen required to meet the increased energyrequirements. The fMRI technique makes use of the fact that oxygenatedhemoglobin does not have a magnetic moment while deoxygenated hemoglobin Chapter 17 Nuclear Physics T2-weighted NMR signals. In this way regions of increased brainactivity can be clearly identified.

FMRI has been applied to identify regions of brain activity in the perfor mance of a wide range of cognitive, motor and sensory activities. Most of thefMRI applications to date have been research-related. For example, in a 2003study Eisenberg and colleagues set up a situation where the subjects experienced social exclusion. Their fMRI studies showed that in such a situation thesame part of the brain is activated as is during physical pain.

The clinical applications of fMRI are still in their infancy, but there is little doubt that within a few years fMRI will have a major role in medicine. Researchis being conducted to use fMRI as an early diagnostic tool to detect neurological diseases such as Alzheimer’s, Parkinson’s and Huntington’s diseases.

Emerging results indicate that fMRI can provide important information to makeneurosurgical procedures such as removal of tumors more accurate. Pain management and more accurate functional testing of psychoactive drugs are someof the other areas where fMRI is likely to become a useful tool.

17.3 Radiation Therapy

In controlled doses, however, radiation can be used therapeutically. In the treatment of certain types of cancer, an ampul containing radioactive material such as radium or cobalt 60 is implanted near the cancerous growth. Bycareful placement of the radioactive material and by controlling the dose, thehope is to destroy the cancer without greatly damaging the healthy tissue.



267

Unfortunately some damage to healthy tissue is unavoidable. As a result, thistreatment is often accompanied by the symptoms of radiation sickness (diarrhea, nausea, loss of hair, loss of appetite, and so on). If long-lived isotopesare used in the therapy, the material must be removed after a prescribed period.

Short-lived isotopes, such as gold 198 with a half-life of about 3 days, decayquickly enough so that they do not need to be removed after treatment.

Certain elements introduced into the body by injection or by mouth tend to concentrate in specific organs. This phenomenon is used to advantage in radiation therapy. The radioactive isotope phosphorus 32 (half-life, 14.3 days)mentioned earlier accumulates in the bone marrow. Iodine 131 (half-life,8 days) accumulates in the thyroid and is given for the treatment of hyperthyroidism.

An externally applied beam of gamma rays or X-rays can also be used to destroy cancerous tumors. The advantage here is that the treatment is administered without surgery. The effect of radiation on the healthy tissue can bereduced by frequently altering the direction of the beam passing through thebody. The tumor is always in the path of the beam, but the dosage received bya given section of healthy tissue is reduced.

17.4 Food Preservation by Radiation

Over the years, a number of techniques have been developed to retard spoilage. Keeping the food in a cold environment reduces the rate of activityfor both the enzymes and the microorganisms. Dehydration of food achievesthe same goal. Heating the food for a certain period of time destroys manymicroorganisms and again retards decay. This is the principle of pasteurization. These methods of retarding spoilage are all at least 100 years old. Thereis now a new technique of preserving food by irradiation.

High-energy radiation passing through the food destroys microorganisms that cause decay. Radiation is also effective in destroying small insects thatattack stored foods. This is especially important for wheat and other grainswhich at present are often fumigated before shipping or storage. Chemicalfumigation kills the insects but not their eggs. When the eggs hatch, the newinsects may destroy a considerable fraction of the grain. Radiation kills boththe insects and the eggs.

Gamma rays are used most frequently in food preservation. They have a great penetrating power and are produced by relatively inexpensive isotopes Chapter 17 Nuclear Physics

High-speed electrons produced by accelerators have also been used to sterilize food. Electrons do not have thepenetrating power of gamma rays, but they can be aimed better and can beturned off when not in use.

In the United States and in many other countries, there are now a num ber of facilities for irradiating food. In the usual arrangement, the food on aconveyor passes by the radioactive source, where it receives a controlled doseof radiation. The source must be carefully shielded to protect the operator.

This problem is relatively simple to solve, and at present the technical problems seem to be well in hand. One plant for irradiating food, in Gloucester,Massachusetts, initially built by the Atomic Energy Commission, has beenoperating successfully since 1964. It can process 1000 lb of fish per hour.

There is no doubt that irradiation retards spoilage of food. Irradiated straw berries, for example, remain fresh for about 15 days after they have beenpicked whereas strawberries that have not been treated begin to decay afterabout 10 days. Irradiated unfrozen fish also lasts a week or two longer. Testshave shown that the taste, nutritional value, and appearance of the food remainacceptable. The important question is the safety of the procedure. Irradiationat the levels used in the treatment does not make the food radioactive. Thereis, however, the possibility that the changes induced by radiation may makethe food harmful. Over the past three decades, there have been many test programs both with animals and with human volunteers to ascertain the safety offood irradiation. At this point, the technique has been judged safe and is incommercial use (see Exercise 10-3).

17.5 Isotopic Tracers

difference is, of course, in their mass. This property alone can be used to separate one isotope from another. A mass spectrometer is one of the devices thatcan perform this task. Another way to distinguish isotopes is by their radioactivity. Many elements have isotopes that are radioactive. These isotopes areeasily identified by their activity. In either case, isotopes can be used to tracethe various steps in chemical reactions and in metabolic processes. Tracertechniques have been useful also in the clinical diagnoses of certain disorders.

Basically the technique consists of introducing a rare isotope into the pro cess and then following the course of the isotope with appropriate detectiontechniques. We will illustrate this technique with a few examples. Nitrogen



269

is one of the atoms in the amino acids that compose the protein molecules.

In nature, nitrogen is composed primarily of the isotope 14N. Only 0.36% ofnatural nitrogen is in the form of the nonradioactive isotope 15N. Ordinarilythe amino acids reflect the natural composition of nitrogen.

It is possible to synthesize amino acids in a laboratory. If the synthesis is done with pure 15N, the amino acids are distinctly marked. The amino acidglycine produced in this way is introduced into the body of a subject whereit is incorporated into the hemoglobin of the blood. Periodic sampling of theblood measures the number of blood cells containing the originally introducedglycine. Such experiments have shown that the average lifetime of a red bloodcell is about four months.

Radioactive isotopes can be traced more easily and in smaller quanti ties than the isotopes that are not radioactive. Therefore, in reactions withelements that have radioactive isotopes, radioactive tracer techniques are preferred. Since the 1950s, when radioactive isotopes first became widely available, hundreds of important experiments have been conducted in this field.

An example of this technique is the use of radioactive phosphorus in the study of nucleic acids. The element phosphorus is an important componentof the nucleic acids DNA and RNA. Naturally occurring phosphorus is all inthe form 31P, and, of course, this is the isotope normally found in the nucleicacids. However, as discussed earlier, by bombarding sulphur 32 with neutrons,it is possible to produce the radioactive phosphorus 32P which has a half-lifeof 14.3 days. If the 32P isotope is introduced into the cell, the nucleic acidssynthesized in the cell incorporate this isotope into their structure. The nucleicacids are then removed from the cell and their radioactivity is measured. Fromthese measurements it is possible to calculate the rate at which nucleic acidsare manufactured by the cell. These measurements, among others, providedevidence for the roles of DNA and RNA in cell functions.

Radioactive tracers have been useful also in clinical measurements. In one technique, the radioactive isotope of chromium is used to detect internalhemorrhage. This isotope is taken up by the blood cells, which then becomeradioactive. The radioactivity is, of course, kept well below the danger level.

If the circulation is normal, the radioactivity is distributed uniformly throughout the body. A pronounced increase in radioactivity in some region indicatesa hemorrhage at that point.

17.6

Laws of Physics and Life Nuclear Physics

Quantum mechanics, which is the fundamental theory of modern atomic physics, has been very successful in describing the properties of atoms andthe interaction of atoms with each other. Starting with a single proton andone electron, the theory shows that their interaction leads to the hydrogenatom with its unique configuration and properties. The quantum mechanicalcalculations for larger atoms are more complicated. In fact, so far a completecalculation has been performed only for the hydrogen atom. The propertiesof heavier atoms must be computed using various approximation techniques.

Yet there is little doubt that quantum mechanics describes all the properties ofatoms from the lightest to the heaviest. The experimental evidence gatheredover the past 100 years fully confirms this view.

The interactions between atoms, which result in the formation of molecules, are likewise in the domain of quantum mechanics. Here again exact solutionsof the quantum mechanical equations have been obtained only for the simplest molecule, H2. Still it is evident that all the rules for both organic andinorganic chemistry follow from the principles of quantum mechanics. Eventhough our present numerical techniques cannot cope with the enormous calculations required to predict the exact configuration of a complex molecule, theconcepts developed in physics and chemistry are applicable. The strengths ofthe interatomic bonds and the orientations of the atoms within the moleculesare all in accord with the theory. This is true even for the largest organicmolecules such as the proteins and DNA.

Past this point, however, we encounter a new level of organization: the cell.

The organic molecules, which are in themselves highly complex, combine toform cells, which in turn are combined to form larger living organisms, whichpossess all the amazing properties of life. These organisms take nourishmentfrom the environment, grow, reproduce, and at some level begin to governtheir own actions. Here it is no longer obvious that the theories governing theinteraction of atoms lead directly to these functions that characterize life. Weare now in the realm of speculations.

The phenomena associated with life show such remarkable organization and planning that we may be tempted to suggest that perhaps some new undiscovered law governs the behavior of organic molecules that come together toform life. Yet there is no evidence for any special laws operating within livingsystems. So far, on all levels of examination, the observed phenomena associated with life obey the well-known laws of physics. This does not mean thatthe existence of life follows from the basic principles of physics, but it may. Infact the large organic molecules inside cells are sufficiently complex to contain

271

within their structures the information necessary to guide in a predeterminedway the activities associated with life. Some of these codes contained in thespecific groupings of atoms within the molecules have now been unraveled.

Because of these specific structures, a given molecule always participates ina well-defined activity within the cell. It is very likely that all the complexfunctions of cells and of cell aggregates are simply the collective result ofthe enormously large number of predetermined but basically well-understoodchemical reactions.

This still leaves the most important question unanswered: What are the forces and the principles that initially cause the atoms to assemble into codedmolecules which then ultimately lead to life. The answer here is probablyagain within the scope of our existing theories of matter.

In 1951, S. L. Miller simulated in his laboratory the type of conditions that may have existed perhaps 3.5 billion years ago in the atmosphere of the primordial Earth. He circulated a mixture of water, methane, ammonia, and hydrogenthrough an electric discharge. The discharge simulated the energy sources thatwere then available from the sun, lightning, and radioactivity. After about oneweek Miller found that the chemical activities in the mixture produced organicmolecules including some of the simple amino acids, which are the buildingblocks of proteins. Since then, hundreds of other organic molecules have beensynthesized under similar conditions. Many of them resemble the componentsof the important large molecules found in cells. It is thus plausible that in theprimordial oceans, rich in organic molecules produced by the prevailing chemical reactions, life began. A number of smaller organic molecules combinedaccidentally to form a large self-replicating molecule such as DNA. These, inturn, combined into organized aggregates and finally into living cells.

Although the probability for the spontaneous occurrence of such events is small, the time span of evolution is probably long enough to make this scenarioplausible. If that is indeed the case, the current laws of physics can explain allof life. At the present state of knowledge about life processes, the completenessof the descriptions provided by physics cannot be proved. The principles ofphysics have certainly explained many phenomena, but mysteries remain. Atpresent, however, there seems to be no need to invoke any new laws.

 EXERCISES 

17-1. Describe the basic principles of magnetic resonance imaging.

17-2. What is your (considered) opinion of food preservation by radiation?

17-3. Through a literature search describe the most recent use of fMRI.

17-4. Discuss some of the most notable attributes of living systems that dis tinguish them from inanimate ones.


 

Appendix A

We assume that the reader is familiar with these concepts and that here asimple summary will be sufficient. A detailed discussion can be found inbasic physics texts, some of which are listed in the Bibliography.

A.1

Speed and Velocity speed. In thespecial case when the velocity of an object is constant, the distance s traversedin time t is given by s  vt

(A.1)

In this case, velocity can be expressed as v  s

(A.2)

t s/t yields the averagevelocity.

272



273

A.2

Acceleration

If the velocity of an object along its path changes from point to point, itsmotion is said to be accelerated (or decelerated). Acceleration is definedas the rate of change in velocity with respect to time. In the special case ofuniform acceleration, the final velocity v of an object that has been acceleratedfor a time t is v  v0 + at

(A.3)

Here v0 is the initial velocity of the object, and a is the acceleration.1 Acceleration can, therefore, be expressed as a  v − v0

(A.4)

t t is vav  v + v0

(A.5)

2

The distance traversed during this time is s  vavt

(A.6)

Using Eqs. A.4 and A.5, we obtain s  v0t + at 2

(A.7)

2

By substituting t  (v − v0)/a (from Eq. A.4) into Eq. A.7, we obtain v2  v2 + 2as

(A.8)

0

1Both velocity and acceleration may vary along the path. In general, velocity is defined as the time derivative of the distance along the path of the object; that is,

s

v  lim

 ds



dt

t → 0

t

Acceleration is defined as the time derivative of the velocity along the path; that is,

  ds a  dv  d d2s

dt

dt

dt dt 2

Appendix A Basic Concepts in Mechanics

A.3

Force

A.4

Pressure

Pressure is the force applied to a unit area.

A.5

Mass

We have stated that a force applied to a body tends to change its state ofmotion. All bodies have the property of resisting change in their motion. Massis a quantitative measure of inertia or the resistance to a change in motion. A.6

Weight

Every mass exerts an attractive force on every other mass; this attraction iscalled the gravitational force. The weight of a body is the force exerted on thebody by the mass of the Earth. The weight of a body is directly proportionalto its mass. Weight being a force is a vector, and it points vertically down inthe direction of a suspended plumb line.

Mass and weight are related but distinct properties of an object. If a body were isolated from all other bodies, it would have no weight, but it would stillhave mass.

A.7

Linear Momentum

Linear momentum of a body is the product of its mass and velocity; that is, Linear momentum  mv

(A.9)

A.8 Newton’s Laws of Motion laws of motion. The lawsare based on observation, and they cannot be derived from more basic principles. These laws can be stated as follows:

First Law: A body remains at rest or in a state of uniform motion in a straight line unless it is acted on by an applied force.



275

Second Law: The time rate of change of the linear momentum of a body is equal to the force F applied to it.

Except at very high velocities, where relativistic effects must be considered, the second law can be expressed mathematically in terms of themass m and acceleration a of the object as2

F  ma

(A.10)

This is one of the most commonly used equations in mechanics. Itshows that if the applied force and the mass of the object are known, theacceleration can be calculated. When the acceleration is known, thevelocity of the object and the distance traveled can be computed fromthe previously given equations.

The Earth’s gravitational force, like all other forces, causes an acceleration. By observing the motion of freely falling bodies, this acceleration has been measured. Near the surface of the Earth, it is approximately 9.8 m/sec2. Because gravitational acceleration is frequently usedin computations, it has been given a special symbol g. Therefore, thegravitational force on an object with mass m is

Fgravity  mg

(A.11)

This is, of course, also the weight of the object.

Third Law: For every action, there is an equal and opposite reaction. This law implies that when two bodies A and B interact so that A exerts aforce on B, a force of the same magnitude but opposite in direction isexerted by B on A. A number of illustrations of the third law are givenin the text.

A.9

Conservation of Linear Momentum

2The second law can be expressed mathematically in terms of the time derivative of momentum: that is, mv(t + t) − mv(t) dv

Force  


 d (mv)  m  ma t → 0

t

dt

dt





276

Appendix A Basic Concepts in Mechanics FIGURE A.1  The radian.

A.10

Radian radian. With reference to Fig. A.1, the angle in radian units isdefined as θ  s

(A.12)

r

where s is the length of the circular arc and r is the radius of rotation. In a fullcircle, the arc length is the circumference 2πr. Therefore in radian units theangle in a full circle is θ  2πr  2π rad

r

Hence, 1 rad  360◦  57.3◦

2π

A.11

Angular Velocity

The angular velocity ω is the angular displacement per unit time; that is, if abody rotates through an angle θ (in radians) in a time t, the angular velocity is ω  θ (rad/sec)

(A.13)

t



277

A.12

Angular Acceleration

Angular acceleration α is the time rate of change of angular velocity. If theinitial angular velocity is ω0 and the final angular velocity after a time t is ωf,the angular acceleration is3

ωf − ω0

α 

(A.14)

t

A.13

Relations between Angular and Linear Motion s traversed in angular motion is s  rθ v of a point that is rotating at an angular velocity ω adistance r from the center of rotation is v  rω

(A.15)

The direction of the vector v is at all points tangential to the path s. The linearacceleration along the path s is a  rα

(A.16)

A.14

Equations for Angular Momentum α andinitial angular velocity ω0, the relationships are shown in Table A.1.

3Both angular velocity and angular acceleration may vary along the path. In general, the instantaneous angular velocity and acceleration are defined as ω  dθ ; α  dω  d 2θ

dt

dt dt 2

Appendix A Basic Concepts in Mechanics TABLE A.1  Equations for α  constant)

ω

 ω +

0

αt

θ

 ω0t + 1αt2

2

ω2  ω2 + 2αθ

0

+ ω)

ω

 (ω0

av

2

A.15

Centripetal Acceleration centripetal (center-seeking) acceleration.

The magnitude of the centripetal acceleration is given by ac  v2  ω2r

(A.17)

r

where r is the radius of rotation and v is the speed tangential to the path ofrotation. Because the body is accelerated toward its center of rotation, weconclude from Newton’s second law that a force pointing toward the center ofrotation must act on the body. This force, called the centripetal force Fc, isgiven by Fc  mac  mv2  mω2r

(A.18)

r

where m is the mass of the rotating body.

For a body to move along a curved path, a centripetal force must be applied to it. In the absence of such a force, the body moves in a straight line, asrequired by Newton’s first law. Consider, for example, an object twirled atthe end of a rope. The centripetal force is applied by the rope on the object.

From Newton’s third law, an equal but opposite reaction force is applied onthe rope by the object. The reaction to the centripetal force is called the centrifugal force. This force is in the direction away from the center of rotation.

The centripetal force, which is required to keep the body in rotation, alwaysacts perpendicular to the direction of motion and, therefore, does no work

279

TABLE A.2  Moments of Inertia of Some Simple Bodies

Body

Location of axis

Moment of inertia

A thin rod of length l Through the center

ml2/12

A thin rod of length l Through one end

ml2/3

Sphere of radius r

2mr2/5

Cylinder of radius r

Along axis of symmetry mr2/2 (see Eq. A.28). In the absence of friction, energy is not required to keep abody rotating at a constant angular velocity.

A.16

Moment of Inertia I of an element of mass m located a distance from the center of rotation is I  mr 2

(A.19)

In general, when an object is in angular motion, the mass elements in the body are located at different distances from the center of rotation. The totalmoment of inertia is the sum of the moments of inertia of the mass elementsin the body.

Unlike mass, which is a constant for a given body, the moment of inertia depends on the location of the center of rotation. In general, the moment ofinertia is calculated by using integral calculus. The moments of inertia for afew objects useful for our calculations are shown in Table A.2.

A.17

Torque

Torque, which is usually designated by the letter L, is given by the product ofthe perpendicular force and the distance d from the point of application to theaxis of rotation; that is (see Fig. A.2), L  F cos θ × d

(A.20)

The distance d is called the lever arm or moment arm.





280

Appendix A Basic Concepts in Mechanics FIGURE A.2  Torque produced by a force.

A.18 Newton’s Laws of Angular Motion

First Law: A body in rotation will continue its rotation with a constant angu lar velocity unless acted upon by an external torque.

Second Law: The mathematical expression of the second law in angular motion is analogous to Eq. A.10. It states that the torque is equal to theproduct of the moment of inertia and the angular acceleration; that is, L  Iα

(A.21)

Third Law: For every torque, there is an equal and opposite reaction torque.

A.19

Angular Momentum

Angular momentum is defined as Angular momentum  Iω

(A.22)

From Newton’s laws, it can be shown that angular momentum of a body isconserved if there is no unbalanced external torque acting on the body.